Виктор Толстых

Маленькие детективы без кадавров

 

 

ПРЕСТУПЛЕНИЕ КОНТИНУУМА

 

Детективные истории встречаются и за пределами насыщенной бурными событиями голливудской жизни. Они бывает, что не ведут к стрельбе и к нахождению тел (фр. кадавров) в подворотнях, с качающимися фонарями в косых струях дождя. Но они тоже исполнены драматизма, доступного лишь малой толике посвящённых. Можно ли об этих страстях поведать простым человеческим языком, чтобы и кухарка поняла, о чём речь? Современные кухарки, особенно в России, вполне могут иметь высшее математическое образование, поэтому эта история в основном для них. Но также и для других любителей захватывающих повествований с неизвестным и неожиданным финалом. Не вздумайте пропустить хоть слово из того, что я вам расскажу, не заглядывайте в конец рассказа. Иначе вы будете лишены возможности узнать имя кардинала, с 1877 года терзавшего своих жертв. И понять, был ли он на самом деле убийцей, если слухами земля полнится, а тело то ли оно есть, то ли его нет. 

 

В нашей повседневной скучной жизни математической периферии иногда встречаются задачи, достойные называться детективом. Такой задачей, ни с того ни с сего породившей огромную, мало кому понятную и мало кому нужную область математики, является проблема континуума. Континуумом называют непрерывный отрезок числовой оси – всего-то, какие у него могут быть проблемы? Начнём почти с начала, чтобы и любой кухарке можно было понять, о чём речь. А закончим,  как сумеем.

           

Всем известно математическое понятие множества: множество людей в магазине, множество грибов в корзине, множество мух в комнате, и даже множество точек на единичном отрезке . Т.е. множество всех чисел больше нуля и меньше единицы. Его ещё называют континуумом, т.е непрерывным, и о нём в дальнейшем речь. В некоторых случаях удаётся установить количество элементов (или точек) множества и тогда мы говорим, что их конечное число и само множество «конечно». Солдатам в строю говорят: «По порядку номеров рассчитайсь!». И тогда каждый элемент множества, т.е. солдат в строю, получает свой уникальный номер. На языке математики это называется установить изоморфизм между двумя множествами: множеством солдат и множеством номеров. Тогда множество становится индексированным, т.е. пересчитанным. Чуть сложнее ситуация когда множество не конечно. К примеру, множество номеров N – всех чисел от единицы и далее  - бесконечно. Это легко доказать от противного: предположим, что существует конечное, самое большое число n. Тогда прибавим к нему единицу, и очевидно, что n+1 будет больше чем n. Вот и всё доказательство – нет самого большого числа и, следовательно, таких чисел точно бесконечно. Можно также сказать, что множество всех чётных чисел и множество всех целых чисел, включая отрицательные целые числа, тоже бесконечные. Это множество не только бесконечное, оно ещё и «счётное»!. Последнее подразумевает, что существует изоморфизм (сопоставление точки в точку) между данным множеством A и множеством номеров N. Иными словами, точки множеств A можно пересчитать. К примеру, чётные числа  пересчитываются по закону . Т.е. для каждого чётного числа найдётся свой номер.

 …

Аналогично, для любого целого тоже найдётся номер по закону

 



         ...

 

Все бесконечные множества, для которых удаётся найти такой изоморфизм с множеством натуральных чисел N, называются счётными. К примеру, счётными являются множество рациональных чисел и множество иррациональных чисел, выражающихся в радикалах, и другие.

 

Вместе с тем, существуют и несчётные множества. Если мы пожелаем найти изоморфизм множества N с множеством R всех вещественных чисел между 0 и 1, то нас постигнет неудача. Великий математик Георг Кантор доказал, что такого изоморфизма не существует. Доказательство простенькое, поэтому приведём его. Оно от противного, т.е. исходит из обратного предположения, что такой изоморфизм существует. Предположим, что мы каким-то загадочным образом сумели построить такой изоморфизм, т.е. для каждого номера нашли вещественное число из отрезка (0,1) и, наоборот, для каждого такого числа  существует номер , т.е. натуральное число. Символ «» означает «принадлежит к множеству». Выпишем такой изоморфизм, подставив для удобства произвольные цифры

 

        …..
        …..
        …..
        …..
        …..
         …
        …..7.... (пусть на
n-й позиции будет цифра 7)

         …

Теперь покажем, что какие бы числа ни были в этом списке, в нём точно пропущено, по крайней мере, одно число. Если хоть одно число пропущено – это уже не изоморфизм множеств, такое условие. Пропущенное число в данном случае это - y = 0.19464…3....
Построили  мы его по такому правилу: 

 

1) первую цифру возьмём отличную от первой цифры первого числа. 1 вместо 5.  

2) вторую цифру возьмём отличную от второй цифры второго числа.  9 вместо 2

3) третью цифру возьмём отличную от третьей цифры третьего числа.  4 вместо 8

  ...

n) n-ю цифру возьмём отличную от n-й цифры n-го числа. Т.е. 3 вместо 7  

 

и т.д.

 

Это число, очевидно, не содержится в приведённом списке, поскольку отличается от первого числа в списке первой цифрой, от второго числа второй цифрой, от третьего числа третьей цифрой.... И вообще, от любого n-ого числа отличается n-ой цифрой. Следовательно, отличается вообще от всех чисел этого списка. Вот мы и доказали, что всегда есть пропущенное число, т.е. изоморфизм не существует! 

Существование несчётных множеств естественным образом заставляет задаться вопросом классификации бесконечных множеств по их изоморфности. Легко доказать, к примеру, что открытый интервал  и вся прямая  взаимно изоморфны. Ещё говорят, что они имеет одинаковые мощности, что является обобщением на бесконечный случай количественной оценки для конечных множеств -  «равное количество точек». Оказывается, что  в этом смысле в отрезке и во всей прямой, в которой содержится бесконечное количество отрезков, одинаковое количество точек! Более того, в отрезке  и в квадрате  количество точек тоже одинаково – эти множества равномощны.

 

            А теперь, наконец, о кардиналах. Кардиналом или кардинальным числом называется количественная оценка мощности бесконечного множества. Это не совсем число, это скорее порядковый номер в «табели о рангах», и сравнимы кардиналы только между собой. Начнем с того, что присвоим количественную оценку нулевого кардинала счётным множествам, которые все равномощны с множеством натуральных чисел N. Обозначим это кардинальное число - . А что назвать следующим кардинальным числом , которое относится к несчётным множествам? По логике, это должно быть множество, равномощное множеству точек единичного отрезка I. Но не всё так просто...

 

Пока что, во избежание неразберихи в кардинальской иерархии, обозначим мощность единичного отрезка кардинальным числом  - понятно, что этот кардинал старше предыдущего, но на сколько рангов? Оказывается, что на роль следующего по порядку кардинала есть ещё, по крайней мере, один претендент – это множество всех подмножеств множества натуральных чисел (обозначение - ). Пусть , тогда мощность такого множества . Доказано, что для любого  верно . Т.е. если все счетные множества равномощны, то для несчетных множеств это уже не так – мощность множества всех подмножеств любого бесконечного множества всегда строго больше, чем мощность самого этого множества. Есть ли кардиналы между  и  - это вопрос… Если есть, то где их искать, в какую подворотню спрятались, а если нет, то откуда взялся кадавр, в смысле - тело? Говорят, что если между двумя кардиналами найдется хоть один, то их там бесконечно много – вот ведь.

 

Представьте себе волнующую воображение бесконечную цепочку множеств всё возрастающей мощности… Сложность бесконечности, уходящей в бесконечность и повсюду кардиналы, кардиналы… - от такого впору закружиться голове …, но головы у математиков крепкие!

 

Аналогично, мы можем образовать другую такую цепочку, начинающуюся от единичного отрезка как множества, и множества всех его подмножеств , которое уже даже более чем несчетно. Здесь так же  для любого  верно . Это еще одна бесконечная цепочка попарно неизоморфных бесконечностей. Вопрос: выполняется ли равенство хотя бы при ? Т.е. существует ли изоморфизм между множеством вещественных чисел, расположенных между 0 и 1, и множеством всех подмножеств множества натуральных чисел? Эта задача называется проблемой континуума или континуум-гипотезой и вошла первым номером в знаменитый список 23-х проблем Гильберта в такой формулировке: «Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным».

 

У этой гипотезы есть оригинальное решение, предложенное Куртом Гёделем в 1940-м и завершенное Полем Коэном в 1963-м году. Последний удостоился медали Филдса – аналога Нобелевской премии для молодых математиков. Если сидите, то лучше не вставайте, чтобы не упасть: Коэн в своей работе фактически «доказал недоказуемость доказательства»  континуум-гипотезы. Вот так! Дело в том, что стройное здание математики строится на небольшом числе аксиом – первичных утверждений, считающихся очевидными. В настоящее время принята система аксиом Цермело-Френкеля (ZFC). В этой системе наиболее известной является Аксиома Выбора: «Для любого множества множеств, из каждого множества можно выбрать по элементу и образовать из этих элементов новое множество». Такое «очевидное» утверждение кому-то очевидно, а кого-то с ума сводит. Чем больше в него вдумываешься, тем меньше понимаешь, что там может быть очевидного. Ну вот, на том и стоим. Оказывается, что даже такой системы аксиом недостаточно ни для доказательства, ни для опровержения континуум гипотезы – она никак не связана с системой ZFC. Гёдель доказал, что отрицание гипотезы системе не вредит, а Коэн доказал, что и вообще не вредит!

 

Мы можем взять за аксиому, что  и продолжать строить теорию - так называемую «канторову теорию множеств». Но можем также взять за аксиому обратное, что , и строить неканторову теорию множеств. Ничего противоречивого мы ни в одном случае не получим и ни один этаж в здании математики от этого не рухнет! Получили две альтернативных теории множеств – ну и ладно.

 

В доказательстве о несчётности отрезка, которое называется «диагональным», используются множества десятичных цифр , то есть доказательство это зависит от системы счисления, что не очень красиво. А что если мы десятичные на что-то иное поменяем? К примеру, на двоичные числа из всего двух цифр – .
Выпишем изоморфизм в новой системе счисления

 

…..
…..
…..
…..
…..
         …

 …..1.... (Пусть на n-й позиции будет стоять 1)

 

Тогда, действуя по старому правилу ставить на место n-й цифры цифру от нее отличающуюся, получаем пропущенное число  = 0.01110…1... . Нетрудно видеть, что в отличие от десятичной системы счисления, в двоичной системе это число одно единственное. Получается, что вроде бы отсутствует всего лишь одно-единственное число. Но, разве счётное множество плюс один элемент не будет счётным? Конечно, будет. Но доказательство указывает, что список полон (!) и НИ ОДНО число в нём не  пропущено! Если есть хоть одно пропущенное, то это значит, что полный список не существует в принципе.

 

Но что же делать с этим единственным значением? Так и хочется его добавить в список… Мне пришлось лично в разное время переписываться с двумя авторами (один из них московский профессор), утверждающими, что они опровергли таким образом доказательство Кантора. Они действительно предлагали просто добавить к списку это число, куда-нибудь между n и n+1 и всё! Ну, хорошо, отвечаю я в письме, тогда я могу для нового списка, в который это число  добавлено, построить по тому же самому правилу ещё одно пропущенное число - . Тогда, говорят, мы и его тоже вставим и так бесконечное число раз. Это «число раз» счётно, а счётное плюс счётное будет счётным! Логично? - Не очень...

 

Пришлось прибегать к более весомому аргументу, оставленному про запас, и указывать, что доказательство Кантора указывает на единственное число, но на самом деле их много. Делаю паузу... просят указать. Указываю, что можно построить диагональ, параллельную первой, начиная со второй цифры. Это число тоже не в списке, поскольку отличается от первого второй цифрой, от второго третьей от третьего четвёртой, от n-го  n+1-й и т.д. Там в Москве долго молчат, видно жаль расставаться с иллюзиями, потом в последней надежде сообщают, что пропущенных чисел хоть и много, но всё же их счётное количество, а счётное умножить на счётное будет счетным – кто бы спорил? Приходится ставить точку в споре, указав, что можно строить не только диагонали, а вообще любые «кривые», так чтобы любое n-ное число отличалось k-й по порядку цифрой. Неважно какой, но чтобы точно отличалось. А это уже нечто, по количеству напоминающее «множество всех подмножеств», и на его счётность рассчитывать не приходится!

 

            Но, вернёмся к вещественным числам, множество которых, как мы только что уверенно доказали с помощью Г.Кантора, несчётно. Оказывается, что здесь всё еще не всё чисто – при внимательном рассмотрении оказывается, что на самом деле мы доказательство провели не для множества вещественных чисел на единичном отрезке (0,1), а для «множества бесконечных цифровых последовательностей», да еще и с учетом системы счисления. Т.е., в нашем случае для множества всевозможных комбинаций десятичных цифр от 0 до 9, записанных последовательно после нуля и десятичной точки. Множество вещественных чисел от этого множества чем-то наверное отличается. К примеру, середина отрезка, т.е. половина или одна вторая ½ - записывается не только как 0.5000000..., но и как 0.4999999... – число одно, а записи две и ни одна цифра в этих двух записях не совпадает. Это рациональное число, которое принято правильно записывать конечным способом, помещая бесконечно повторяющуюся часть в скобки - 0.5(0) и 0.4(9). Рациональные числа таким образом всегда записываются конечно и, разумеется, число таких ситуаций с двояко записываемыми числами даже меньше чем множество рациональных чисел отрезка, которое, как мы теперь знаем - счётно. Несчётное минус счётное будет несчётное – казалось бы всё прояснилось и ничего страшного не произошло – множество вещественных чисел оказывается всё же несчётным. Математики лишь слегка задумались и придумали хитрые такие «фундаментальные последовательности», что если две последовательности цифр на лишь эту фундаментальную последовательность отличаются, то они совпадают. Дальше профакторизовали по ним и успокоились – изоморфизм достигнут!

 

            Однако, стоит лишь начать задумываться и сомнения охватывают всё больше и больше: а как мы узнаем, что это число рациональное или, что последовательность действительно фундаментальная, то есть по сути нулевая? Какой длины проверку цифр надо проводить на повторяемость – до посинения что ли? И что вообще такое вещественное число из (0,1) если не простая комбинация цифр после нуля и десятичной точки?

 

Мы привыкли получать вещественные числа, не выписывая бесконечные цифровые последовательности, а алгоритмически, т.е. в результате конечной вычислительной процедуры, выраженной конечным набором символов. Простой умозрительный перебор всех таких алгоритмов показывает, что доступных нам вещественных чисел счётное множество и не более. А других чисел, которые не задаются никакими правилами вычисления, мы никогда не знали и не узнаем – их просто нет. Разве можно считать, что нечто «существует», если оно не может быть получено никаким образом?

 

Вопросы, вопросы... они ведут прямиком к теореме, которую наши профессора предпочитают не вставлять в учебные пособия, чтобы крыши у несчастных студентов не съехали совсем окончательно. Это – «полуподпольная» теорема Левенгейма-Скулема, которая в общем гласит, что вопрос несчётности точек этого треклятого отрезка числовой оси, континуума то есть, зависит от дополнительных условий, которые мы неизбежно примем за пределами системы ZFС. Т.е., мы можем доказать, что оно несчётно, а другие по-своему докажут, что счётно. Можно повышать голос, ссылаться на авторитеты, спорить до хрипоты, за грудки друг - дружку хватать, биться головой об стену, но истины так никто никогда и не узнает – тела-то не найдено. И его уже никогда не найдут...

Чиир!

 

  

Томясь от безделия в

Malmö, Sweden, October 2004